《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第2课时)
第一部分内容:学 习 目 标
1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).
2.理解三个“二次”之间的关系.
3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).
核 心 素 养
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养.
2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
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二次函数与一元二次方程不等式PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
1.分式不等式的解法
主导思想:化分式不等式为整式不等式
思考1:x-3x+2>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将x-3x+2>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处?
提示:等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
2.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0
a=0 b=0,c>0 b=0,c<0
a≠0 a>0Δ<0 a<0Δ<0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y=ax2+bx+c
若ax2+bx+c≤k恒成立⇔ymax≤k
若ax2+bx+c≥k恒成立⇔ymin≥k
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.
(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回扣实际问题.
思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么?
提示:解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.
1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=xx-2x≤0,则A∩B等于( )
A.{x|-1≤x<0}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|0≤x<2}
D.{x|0≤x≤1}
2.不等式x+1x≥5的解集是________.
3.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
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二次函数与一元二次方程不等式PPT,第三部分内容:合作探究提素养
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1)x-3x+2<0;
(2)x+12x-3≤1.
[解] (1)x-3x+2<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3,
∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}.
(2)∵x+12x-3≤1,
∴x+12x-3-1≤0,
∴-x+42x-3≤0,
即x-4x-32≥0.
此不等式等价于(x-4)x-32≥0且x-32≠0,
解得x<32或x≥4,
∴原不等式的解集为xx<32或x≥4.
规律方法
1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
一元二次不等式的应用
【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言:“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8-x)%;“收购量能增加2x个百分点”,此时总收购量为m(1+2x%)吨,“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.
课堂小结
1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.
2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论:
(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
3.在某集合A中恒成立问题
设y=ax2+bx+c(a≠0)
若ax2+bx+c>0在集合A中恒成立,则集合A是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的取值(范围).
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二次函数与一元二次方程不等式PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)不等式1x>1的解集为x<1.( )
(2)求解m>ax2+bx+c(a<0)恒成立时,可转化为求解y=ax2+bx+c的最小值,从而求出m的范围.( )
2.不等式x+1x+22 x+3x+4>0的解集为________.
3.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是________.
4.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格?
[解] 设每盏台灯售价x元,则x≥15,并且日销售收入为x[30-2(x-15)],由题意知,当x≥15时,有x[30-2(x-15)]>400,解得:15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制定这批台灯的销售价格为15≤x<20.
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