《正弦函数、余弦函数的图象》三角函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.能根据正弦函数的定义,利用单位圆正弦线作正弦函数的图象.
2.掌握用“五点法”作正弦函数与余弦函数的图象.
3.能从简单的图象变换的角度理解正弦函数图象与余弦函数图象的内在联系.
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正弦函数余弦函数的图象PPT，第二部分内容：自主预习
一、正弦函数的图象
1.(1)如图单位圆所示,角α的终边与单位圆交点B(x0,y0),你能用点A坐标表示sin α和cos α吗?
提示:由三角函数的定义可知sin α=y0,cos α=x0.
(2)在(1)中,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,如果规定BM方向与y轴正向同向为正,与y轴负向同向为负,这样就可以用BM的大小(含正负)来表示正弦值.
请问角α在 0,π/2 内按逆时针旋转时sin α的大小变化规律如何?角α在 π/2,π 时呢?
提示:当sin α在α∈ 0,π/2 时,随α的增大,sin α值越大,为增函数;
当sin α在α∈ π/2,π 时,随α的增大,sin α的值越小,为减函数.
其中BM能代表sin α的值,BM又叫做正弦线.
(3)对于任意一个实数x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否将sin x,cos x看作是关于变量x的函数?
提示:唯一,能.
(4)正、余弦函数的解析式及其定义域
(5)作函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取哪些点?
提示:作函数图象最基本的方法是描点法;用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取当x=0,π/6,π/4,π/3,π/2,… 时的各点.
2.填空
利用正弦线作正弦函数的图象
利用正弦线作正弦函数图象的步骤:(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移得点;(4)连线.
3.如何得到x∈[2π,4π],[-2π,0],…时y=sin x的图象?
提示:根据诱导公式一,可将函数y=sin x在[0,2π]内的图象通过向左、向右平移得到.
4.填空
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
5.在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?
提示:一个最高点、一个最低点、三个图象与x轴的交点.
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正弦函数余弦函数的图象PPT，第三部分内容：探究学习
用“五点法”作三角函数的图象
例1用“五点法”作出下列函数的图象:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1-1/3cos x,x∈[-2π,2π].
分析:(1)先在[0,2π]上找出5个关键点,再用光滑曲线连接;(2)先用“五点法”作出函数在[0,2π]上的图象,再通过对称或平移得到[-2π,0]上的图象.
解:(1)列表:
描点、连线,如图.
(2)列表:
描点、连线,得到函数y=1-1/3cos x在[0,2π]上的图象,再将该图象向左平移2π个单位即可得到函数在[-2π,2π]上的图象,如图.
反思感悟 用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)(或y=Acos x+b(A≠0))在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,y1),(π/2 "," y_2 ),(π,y3),(3π/2 "," y_4 ),(2π,y5).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
反思感悟 图象变换的规律
1.平移变换
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的;
(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的.
2.对称变换
(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;
(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;
(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
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正弦函数余弦函数的图象PPT，第四部分内容：思想方法
利用数形结合思想解决解的个数问题
典例 方程lg x=sin x的解的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.
解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg x与y=sin x的图象,如图所示,当x=5π/2时,y=lg5π/2<1,y=sin5π/2=1;当x=9π/2时,y=lg9π/2>1,y=lg x与y=sin x无交点.如图所示,由图知有三个交点,故方程有三个解.
答案:D
方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.
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正弦函数余弦函数的图象PPT，第五部分内容：随堂演练
1.用“五点法”作函数y=2-3sin x的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是( )
A.(0,2) B.(π/2 "," 1) C.(π,2) D.(3π/2 "," 5)
解析:当x=π/2时,y=2-3sin x=-1,故(π/2 "," 1)不是一个关键点.
答案:B
2.函数y=cos(x+3π)的图象与余弦函数图象( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称
D.关于原点和坐标轴对称
解析:因为y=cos(x+3π)=-cos x,所以其图象与余弦函数y=cos x的图象关于原点和x轴都对称.
答案:C
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