《三角函数的概念》三角函数PPT课件(第2课时同角三角函数的基本关系)
第一部分内容:学 习 目 标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)
核 心 素 养
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算,培养数学运算素养.
2.借助数学式子的证明,培养逻辑推理素养.
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三角函数的概念PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
1.平方关系
(1)公式:sin2α+cos2α=_____.
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于_____.
2.商数关系
(1)公式:sin αcos α=_____(α≠kπ+π2,k∈Z).
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于__________.
思考:对任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立?
提示:成立.平方关系中强调的同一个角且是任意的,与角的表达形式无关.
初试身手
1.化简1-sin23π5的结果是( )
A.cos3π5 B.sin3π5
C.-cos3π5 D.-sin3π5
2.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )
A.tan α=-sin αcos α
B.cos α=-1-sin2 α
C.sin α=-1-cos2 α
D.tan α=cos αsin α
3.若cos α=35,且α为第四象限角,则tan α=________.
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三角函数的概念PPT,第三部分内容:合作探究提素养
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】(1)已知α∈π,3π2,tan α=2,则cos α=________.
(2)已知cos α=-817,求sin α,tan α的值.
[思路点拨] (1)根据tan α=2和sin2α+cos2α=1列方程组求cos α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角,再分类讨论求sin α,tan α.
规律方法
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:
1已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
2若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角终边位置的判断,确定所求值的符号.
跟踪训练
1.已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.
[解] ∵sin α+3cos α=0,
∴sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1,
∴(-3cos α)2+cos2α=1,
即10cos2α=1,
∴cos α=±1010.
又由sin α=-3cos α,
可知sin α与cos α异号,
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时,cos α=-1010,sin α=31010;
当角α的终边在第四象限时,cos α=1010,sin α=-31010.
灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】(1)已知sin α+cos α=713,α∈(0,π),则tan α=________.
(2)已知sin α+cos αsin α-cos α=2,计算下列各式的值.
①3sin α-cos α2sin α+3cos α;
②sin2α-2sin αcos α+1.
[思路点拨](1)法一:求sin αcos α→求sin α-cos α→求sin α和cos α→求tan α
法二:求sin αcos α→弦化切构建关于tan α的方程→求tan α
(2)求tan α→换元或弦化切求值
规律方法
1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
2.已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将被求式化为关于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值.
提醒:求sin α+cos α或sin α-cos α的值,要注意根据角的终边位置,利用三角函数线判断它们的符号.
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三角函数的概念PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)对任意角α,sin α2cos α2=tan α2都成立.( )
(2)因为sin2 94π+cos2 π4=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β为任意角.( )
(3)对任意角α,sin α=cos α•tan α都成立.( )
[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错,由正切函数的定义域知α不能取任意角,所以(1)错,(3)错.
2.已知tan α=-12,则2sin αcos αsin2α-cos2α的值是( )
A.43 B.3
C.-43 D.-3
3.已知α是第二象限角,tan α=-12,则cos α=________.
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