《三角函数的图象与性质》三角函数PPT课件(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
第一部分内容：学 习 目 标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)
3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
核 心 素 养
1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
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三角函数的图象与性质PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个_________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_________，那么这个函数的周期为_____.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_________，那么这个最小_________就叫做f(x)的_________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
初试身手
1．函数y＝2sin2x＋π2是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
2．函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数f(x)＝3sinπx2－π4，x∈R的最小正周期为________．
4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.
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三角函数的图象与性质PPT，第三部分内容：合作探究提素养
三角函数的周期问题及简单应用
【例1】求下列函数的周期：
(1)y＝sin2x＋π4；
(2)y＝|sin x|.
[思路点拨] (1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解] (1)法一：(定义法)y＝sin2x＋π4
＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋π＋π4，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
规律方法
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.
跟踪训练
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin13x－π4，x∈R.
三角函数奇偶性的判断
【例2】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin－12x＋π2；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝1＋sin x－cos2x1＋sin x.
规律方法
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
课堂小结
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．
2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．
3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.
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三角函数的图象与性质PPT，第四部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)若sin2π3＋π6＝sinπ6，则2π3是函数y＝sin x的一个周期．( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期．( )
(3)函数y＝sin x是奇函数．( )
[提示] (1)×.因为对任意x，sin2π3＋x与sin x并不一定相等．
(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．
(3)×.函数y＝sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．
2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )
3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos 3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
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