《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)
第一部分内容：学 习 目 标
1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)
核 心 素 养
1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.
2.借助运算求值，提升数学运算素养.
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三角恒等变换PPT，第二部分内容：自主预习探新知
新知初探
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝
C2α cos 2α＝
T2α tan 2α＝___________
2.余弦的二倍角公式的变形
3.正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝_________.
(2)1±sin 2α＝_________.
初试身手
1．下列各式中，值为32的是( )
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
2．sin 15°cos 15°＝________.
3.12－cos2π8＝________.
4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________.
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三角恒等变换PPT，第三部分内容：合作探究提素养
给角求值
【例1】 (1)cosπ7cos3π7cos5π7的值为( )
A.14 B．－14
C.18 D．－18
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tan275°tan 75°；
④1sin 10°－3cos 10°.
规律方法
对于给角求值问题，一般有两类：
1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
给值求值、求角问题
【例2】(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos2α＋π4的值；
(2)已知α∈－π2，π2，且sin 2α＝sinα－π4，求α.
[思路点拨]依据以下角的关系设计解题思路求解：
(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系；
(2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系．
规律方法
解决条件求值问题的方法
1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
2当遇到fπ4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.
cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.
化简证明问题
[探究问题]
1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？
提示：通常要切化弦后再进行变形．
2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？
提示：由复杂一侧向简单一侧推导．
规律方法
证明三角恒等式的原则与步骤
1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
课堂小结
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2•α2n＋1(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos 2α2.
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三角恒等变换PPT，第三部分内容：当堂达标固双基
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.
(3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.
2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
3．设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________．
4．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
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