《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第2课时均值不等式的应用)
第一部分内容:学 习 目 标
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)
2.会用均值不等式求解实际应用题.(难点)
核 心 素 养
1.通过均值不等式求最值,提升数学运算素养.
2.借助均值不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养.
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均值不等式及其应用PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值S24.
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最 值2p.
上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
初试身手
1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是( )
A.72 B.4 C.92 D.5
2.若x>0,则x+2x的最小值是________.
3.设x,y∈N*满足x+y=20,则xy的最大值为________.
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均值不等式及其应用PPT,第三部分内容:合作探究提素养
利用均值不等式求最值
【例1】(1)已知x<54,求y=4x-2+14x-5的最大值;
(2)已知0<x<12,求y=12x(1-2x)的最大值.
[思路点拨] (1)看到求y=4x-2+14x-5的最值,想到如何才能出现乘积定值;(2)要求y=12x(1-2x)的最值,需要出现和为定值.
规律方法
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件,即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话:若不正,用其相反数,改变不等号方向;若不定,应凑出定和或定积;若不等,一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.
利用均值不等式求条件最值
【例2】已知x>0,y>0,且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值.
规律方法
1.本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足均值不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见形式有y=ax+bx型和y=ax(b-ax)型.
利用均值不等式解决实际问题
【例3】如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
[解]设每间虎笼长x m,宽y m,
则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
规律方法
在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
课堂小结
1.利用均值不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用均值不等式的三个条件,需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个适合应用均值不等式的情境.
2.不等式的应用题大都与函数相关联,在求最值时,均值不等式是经常使用的工具,但若对自变量有限制,一定要注意等号能否取到.
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均值不等式及其应用PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)两个正数的积为定值,一定存在两数相等时,它们的和有最小值.( )
(2)若a>0,b>0且a+b=4,则ab≤4.( )
(3)当x>1时,函数y=x+1x-1≥2xx-1,所以函数y的最小值是2xx-1.( )
2.若实数a,b满足a+b=2,则ab的最大值为( )
A.1 B.22 C.2 D.4
3.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为( )
A.12 B.34
C.23 D.25
4.已知x>0,求y=2xx2+1的最大值.
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