《平面向量及其线性运算》平面向量初步PPT(数乘向量 向量的线性运算)
第一部分内容：课标阐释
1.了解数乘向量的概念并理解数乘运算的几何意义.
2.理解并掌握数乘向量的运算律,会进行向量的数乘运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.
4.会利用向量的加法、减法与数乘进行线性运算.
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平面向量及其线性运算PPT，第二部分内容：课前篇自主预习
一、数乘向量
1.填空.
定义实数λ与向量a相乘的运算
记法λa
长度|λa|=|λ||a|
方向
λ>0方向与a的方向相同
λ<0方向与a的方向相反
2.数乘的几何意义是什么?
提示:向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.当λ>0时,沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)λ倍;当λ<0时,沿着a的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)|λ|倍.
3.做一做:思考辨析
(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.( )
(2)当λ>0时,|λa|=λa.( )
(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
解析:(1)0·a=0;(2)|λa|=λ|a|(λ>0).(3)当λ<0时,-λ>0,a与-λa的方向相同.
二、数乘向量与线性运算律
1.填空.
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.如何理解向量数乘的运算律?
提示:(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似,只是向量数乘分配律由于因子的不同,可分为(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb.
(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义.所以证明此运算律的关键,是证明等式两边向量的模相等且方向相同.并对各种可能的情况,做全面的讨论.
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平面向量及其线性运算PPT，第三部分内容：课堂篇探究学习
向量的线性运算
例1化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
解:(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
反思感悟向量数乘运算的方法总结
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
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平面向量及其线性运算PPT，第四部分内容：思维辨析
向量共线问题——数学方法
典例已知非零向量e1,e2不共线,如果(AB) =e1+2e2,(BC) =-5e1+6e2,(CD) =7e1-2e2,则共线的三个点是___________.
分析:将三点共线问题转化为向量共线问题,例如(AB) ∥(BD) 可推出A,B,D三点共线.
解析:∵(AB) =e1+2e2,(BD) =(BC) +(CD) =-5e1+6e2+7e1-2e2
=2(e1+2e2)=2(AB) ,
∴(AB) ,(BD) 共线,且有公共点B.
∴A,B,D三点共线.
答案:A,B,D
变式训练已知m,n是不共线向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判断a与b是否共线.
解:若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,
即3m+4n=λ(6m-8n).
∵m,n不共线,∴{■(6λ=3"," @"-" 8λ=4"." )┤
∵不存在λ同时满足此方程组,∴a与b不共线.
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平面向量及其线性运算PPT，第五部分内容：当堂检测
1.已知点D是△ABC所在平面上一点,满足(BD) =1/4 (DC) ,则(AD) =( )
A.1/4 (AB) +3/4 (AC) B.3/4 (AB) +1/4 (AC)
C.4/5 (AB) +1/5 (AC) D.1/5 (AB) +4/5 (AC)
2.已知△ABC和点M满足(MA) +(MB) +(MC) =0.若存在实数m使得(AB) +(AC) =m(AM) 成立,则m的值为__________.
3.如图,在△ABC中,(AD) =2/3 (AC) ,(BP) =1/3 (PD) ,若(AP) =λ(AB) +μ(AC) ,则λ+μ的值为( )
A.11/12 B.3/4 C.8/9 D.7/9
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