《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第一课时基本不等式)
第一部分内容:学习目标
理解基本不等式的内容及导出过程
能够运用基本不等式求函数或代数式的最值
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基本不等式PPT,第二部分内容:自主学习
问题导学
预习教材P44-P46,并思考以下问题:
1.基本不等式的内容是什么?
2.基本不等式成立的条件是什么?
3.利用基本不等式求最值时,应注意哪些问题?
新知初探
1.重要不等式与基本不等式
■名师点拨
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是不同的.前者要求a,b是实数即可,而后者要求a,b都是正实数(实际上后者只要a≥0,b≥0即可).
(2)两个不等式a2+b2≥2ab和a+b2≥ab都是带有等号的不等式,都是“当且仅当a=b时,等号成立”.
2.基本不等式与最值
已知x>0,y>0,则
(1)若x+y=S(和为定值),则当_______时,积xy取得最_______值_______.
(2)若xy=P(积为定值),则当_______时,和x+y取得最_______值_______.
记忆口诀:两正数的和定积最大,两正数的积定和最小.
■名师点拨
利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即:
①一正:符合基本不等式a+b2≥ab成立的前提条件,a>0,b>0;
②二定:化不等式的一边为定值;
③三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立.
以上三点缺一不可.
自我检测
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab均成立.( )
(2)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2ab.( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤a+b22.( )
(4)a,b同号时,ba+ab≥2.( )
(5)函数y=x+1x的最小值为2.( )
如果a>0,那么a+1a+2的最小值是( )
A.2 B.22
C.3 D.4
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基本不等式PPT,第三部分内容:讲练互动
对基本不等式的理解
下列结论正确的是( )
A.若x∈R,且x≠0,则4x+x≥4
B.当x>0时,x+1x≥2
C.当x≥2时,x+1x的最小值为2
D.当0<x≤2时,x-1x无最大值
【解析】 对于选项A,当x<0时,4x+x≥4显然不成立;对于选项B,符合应用基本不等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”;对于选项C,忽视了验证等号成立的条件,即x=1x,则x=±1,均不满足x≥2;对于选项D,x-1x在0<x≤2的范围内单调递增,有最大值2-12=32.
给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
利用基本不等式直接求最值
(1)已知t>0,求y=t2-4t+1t的最小值;
(2)若正实数x,y满足2x+y=1,求xy的最大值.
规律方法
(1)若a+b=S(和为定值),当a=b时,积ab有最大值S24,可以用基本不等式ab≤a+b2求得.
(2)若ab=P(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2P,可以用基本不等式a+b≥2ab求得.
不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立.
1.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25
C.9 D.36
2.若a,b都是正数,则1+ba1+4ab的最小值为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
利用基本不等式求最值
(1)已知x>2,则y=x+4x-2的最小值为________.
(2)若0<x<12,则函数y=12x(1-2x)的最大值是________.
(3)若x,y∈(0,+∞),且x+4y=1,则1x+1y的最小值为________.
求解策略
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
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基本不等式PPT,第四部分内容:达标反馈
1.下列不等式中,正确的是( )
A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4ab
C.ab≥a+b2 D.x2+3x2≥23
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为( )
A.25 B.25/2
C.25/4 D.25/8
3.若a>1,则a+1a-1的最小值是( )
A.2 B.a
C.2aa-1 D.3
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