《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第一课时基本不等式)
第一部分内容:学 习 目 标
1.了解基本不等式的证明过程.(重点)
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
核 心 素 养
1.通过不等式的证明,培养逻辑推理素养.
2.借助基本不等式形式求简单的最值问题,提升数学运算素养.
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基本不等式PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
1.重要不等式
∀a,b∈R,有a2+b2≥_______,当且仅当_______时,等号成立.
2.基本不等式
(1)有关概念:当a,b均为正数时,把a+b2叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.
(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab≤a+b2,当且仅当_______时,等号成立.
初试身手
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是( )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
2.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( )
A.a2+b2
B.2ab
C.2ab
D.a+b
3.已知ab=1,a>0,b>0,则a+b的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
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基本不等式PPT,第三部分内容:合作探究提素养
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面四个推导过程:
①∵a、b为正实数,∴ba+ab≥2ba•ab=2;
②∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24a•a=4;
③∵x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy-yx=-2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
B [①∵a、b为正实数,∴ba、ab为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确.
②∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,
∴4a+a≥24a•a=4是错误的.
③由xy<0,得xy、yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-xy、-yx均变为正数,符合均值不等式的条件,故③正确.]
规律方法
1.基本不等式ab≤a+b2 (a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系.
2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a、b都是正数.(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,ab≤a+b2的等号成立,即a=b⇒a+b2=ab;仅当a=b时,a+b2≥ab的等号成立,即a+b2=ab⇒a=b.
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基本不等式PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2ab均成立.( )
(2)若a≠0,则a+1a≥2a•1a=2.( )
(3)若a>0,b>0,则ab≤a+b22.( )
[提示] (1)任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab成立.
(2)只有当a>0时,根据基本不等式,才有不等式a+1a≥2a•1a=2成立.
(3)因为ab≤a+b2,所以ab≤a+b22.
2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a-b<0
B.0<ab<1
C.ab<a+b2
D.ab>a+b
3.不等式9x-2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )
A.x=3
B.x=-3
C.x=5
D.x=-5
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