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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第1课时)

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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第1课时) 详细介绍:

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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第1课时一元二次不等式及其解法)

第一部分内容:学 习 目 标

1.掌握一元二次不等式的解法(重点).

2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).

核 心 素 养

通过一元二次不等式的学习,培养数学运算素养.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.一元二次不等式的概念

只含有______未知数,并且未知数的最高次数是___的不等式,称为一元二次不等式.

2.一元二次不等式的一般形式

(1)ax2+bx+c>0(a≠0).

(2)ax2+bx+c≥0(a≠0).

(3)ax2+bx+c<0(a≠0).

(4)ax2+bx+c≤0(a≠0).

思考1:不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?

提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.

3.一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的______.

思考2:类比“方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含义是什么?

提示:不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立.

4.三个“二次”的关系

思考3:若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件?

提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则a>0,1+4a<0,解得a∈∅,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.

初试身手

1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为(  )

A.xx>3或x<-12

B.x-12≤x≤3

C.xx≥3或x≤-12

D.R

2.不等式3x2-2x+1>0的解集为(  )

A.x-1<x<13 

B.x13<x<1

C.∅  

D.R

3.不等式x2-2x-5>2x的解集是________.

4.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________.

... ... ...

二次函数与一元二次方程不等式PPT,第三部分内容:合作探究提素养

一元二次不等式的解法

【例1】解下列不等式:

(1)2x2+7x+3>0;

(2)-4x2+18x-814≥0;

(3)-2x2+3x-2<0.

[解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-12.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为xx>-12或x<-3.

(2)原不等式可化为2x-922≤0,所以原不等式的解集为xx=94.

(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.

规律方法

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

1化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.

2判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.

3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

5写解集.根据图象写出不等式的解集.

课堂小结

1.解一元二次不等式的常见方法

(1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:

①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);

②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;

③由图象得出不等式的解集.

(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.

当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得{x|x>n或x<m};

若(x-m)(x-n)<0,则可得{x|m<x<n}.

有口诀如下:大于取两边,小于取中间.

2.含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑

(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.

(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,

x1=x2,x1<x2.

3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.

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二次函数与一元二次方程不等式PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)mx2-5x<0是一元二次不等式.(  )

(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.(  )

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.(  )

(4)不等式x2-2x+3>0的解集为R.(  )

[提示] (1)错误.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,是一元二次不等式.

(2)错误.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.

(3)错误.当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2},否则不成立.

(4)正确.因为Δ=(-2)2-12<0,所以不等式x2-2x+3>0的解集为R.

2.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)x-1a<0的解集为________.

3.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-2或x>-12,则ax2-bx+c>0的解集为________.

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