《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT(第3课时向量的数乘运算)
第一部分内容：学习目标
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律
掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线
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平面向量的运算PPT，第二部分内容：自主学习
问题导学
预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
新知初探
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做向量的数乘，记作_______，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝_______．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向_______；当λ＝0时，λa＝_______．
名师点拨
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝_______．
(2)(λ＋μ)a＝______________．
(3)λ(a＋b)＝______________．
3．向量的线性运算及向量共线定理
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的___________．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______．
名师点拨
若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
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平面向量的运算PPT，第三部分内容：自我检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，则a＝b.( )
(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．( )
2. 4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
3.若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
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平面向量的运算PPT，第四部分内容：讲练互动
向量的线性运算
(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
规律方法
向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
向量共线定理及其应用
已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
规律方法
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC→，则AB→与AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
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平面向量的运算PPT，第五部分内容：达标反馈
1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，则32e2－e1＝( )
A.BO→ B.AO→
C.CO→ D.DO→
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．
证明：因为CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，
所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.
又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→与BD→共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
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