《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数乘运算)
第一部分内容:内容标准
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则.
2.理解平面向量数乘运算的几何意义.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
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平面向量的运算PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 向量的数乘运算
预习教材,思考问题
如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系.
――→a
[提示] 如图,a+a+a=OC→,(-a)+(-a)+(-a)=PF→,可以发现:a+a+a与a的方向相同,模是a的模的3倍;(-a)+(-a)+(-a)与a的方向相反,模是a的模的3倍.
知识点二 数乘运算的运算律
预习教材,思考问题
已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
知识梳理 设λ,μ为实数,则
(1)①λ(μa)=____,
②(λ+μ)a=____,
③λ(a+b)=____ (分配律).
特别地,我们有
(-λ)a=-λa=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
(2)向量的线性运算:向量的____、____、____运算统称向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是____.
对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a+μ2b)=________.
知识点三 共线向量定理
预习教材,思考问题
(1)a=λb⇒a与b共线,对吗?
(2)若a与b共线,一定有a=λb吗?
[自主检测]
1.下列说法正确的是( )
A.2a与a不能相等 B.|2a|>|a|
C.2a∥a D.|2a|≠1
2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于( )
A.2a B.-2a
C.25a D.-25a
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平面向量的运算PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 向量的线性运算
[例1] 计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)12[(3a+2b)-23a-b]-76[12a+37(b+76a)];
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
[分析] 根据向量的线性运算法则求解.
方法提升
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
探究二 向量线性运算的综合应用
[例2] 在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交CD于点F,若AC→=a,BD→=b,则AF→=( )
A.14a+12bB.13a+23b
C.12a+14bD.23a+13b
探究三 利用共线向量证明三点共线
[例3] 已知任意两个非零向量a,b,试作OA→=a+b,OB→=a+2b,OC→=a+3b,猜想A,B,C三点之间的位置关系,并证明你的猜想.
方法提升
证明三点共线的方法
若向量AB→=λAC→,则AB→,AC→共线,又AB→与AC→有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
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平面向量的运算PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
一、“能伸能缩的大丈夫” ——向量的数乘运算
直观想象、逻辑推理、数学运算
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算,数乘运算的几何意义就是向量的伸缩变换.
[典例1] 已知向量a,b.
(1)计算:6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b);
(2)把满足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x,y用a,b表示出来.
二、典题悟道——三点共线的判定与证明
直观想象、逻辑推理
[典例2] 如图所示,已知在▱ABCD中,点M为AB的中点,点N在BD上,且3BN=BD.
求证:M、N、C三点共线.
[思维突破] 第一步,看结论:证明M、N、C三点共线.
第二步,想方法:运用共线向量定理证明MN→=λMC→.
第三步,找联系:以AB→,AD→来表示MN→,MC→,借助共线向量定理寻求λ,使MN→=λMC→,使问题得证.
[素养提升] 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线无公共点,则这两条直线平行;
(2)若b=λa(a≠0),且b与a所在的直线有公共点,则这两条直线重合.
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