《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT下载(向量的数量积)
第一部分内容:内容标准
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义.
2.会计算平面向量的数量积.
3.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
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平面向量的运算PPT,第二部分内容:课前 • 自主探究
[教材提炼]
知识点一 两个向量的夹角与垂直
预习教材,思考问题
如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么?
知识点二 向量的数量积
预习教材,思考问题
力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?
特别提醒 (1)“•”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
知识点三 投影向量
预习教材,思考问题
(1)如图,已知线段AB和直线l,过线段AB的两个端点A,B,分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,得到线段A1B1,那么线段A1B1叫做什么?
[提示] 线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.
(2)设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系?
[提示] |A1B1|=|AB|cos θ.
知识点四 平面向量数量积的性质
预习教材,思考问题
已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.
(1)根据数量积公式,计算a•e,a•a.
(2)若a•b=0,则a与b有什么关系?
(3)当θ=0°和180°时,数量积a•b分别是什么?
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平面向量的运算PPT,第三部分内容:课堂 • 互动探究
探究一 计算平面向量的数量积
[例1] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求:
(1)a•b;
(2)(a-2b)•(3a+b);
(3)a•(a-4b+2c).
[分析] 根据向量数量积的定义和运算律进行求解.
方法提升
求向量数量积的一般步骤
(1)运用数量积的运算律展开、化简;
(2)确定向量的模与夹角;
(3)套用数量积的定义式代入计算即得.
探究二 求投影向量
[例2] 已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为2π3,则向量a在向量e上的投影向量是________;向量e在向量a上的投影向量是________.
方法提升
向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e是与b方向相同的单位向量,且e=b|b|)中计算即可.
探究三 利用数量积解决向量的夹角和垂直问题
[例3] (1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
A.π3 B.π2
C.2π3 D.5π6
(2)已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
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平面向量的运算PPT,第四部分内容:课后 • 素养培优
一、“摇身一变的运算”——向量的数量积运算
直观想象、数学运算
向量运算的结果突变,由向量变数量,我们以物理中力做功为背景,定义了两个向量的数量积,理解了功的含义,也就理解了数量积含义,求数量积的关键就是找准夹角.
[典例1] 如图,正三角形ABC边长为2,设BC→=2BD→,AC→=3AE→,则AD→•BE→=________.
[素养提升] 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征, 灵活选用基底,转化为可以进行数量积运算的基底即可.
二、转化与化归思想——求向量模的基本方法
数学运算、逻辑推理
一般的求模的问题,只要对该向量平方,转化为已知向量的数量积即可解决.
[典例2] 若向量a与向量b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)•(a-3b)=-72.求:
(1)|a|;
(2)|a+b|.
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