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《最短路径问题》轴对称PPT下载

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《最短路径问题》轴对称PPT下载 详细介绍:

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《最短路径问题》轴对称PPT下载

第一部分内容:学习目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点)

体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想.(重点)

新课导入

1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?

为什么?

②最短,因为两点之间,线段最短

2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短?为什么?

PC最短,因为垂线段最短

... ... ...

最短路径问题PPT,第二部分内容:知识讲解

1、牧马人饮马问题

“两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题,本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.

如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

作图问题:在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.

问题1    现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?

连接AB,与直线 l 相交于一点C.

根据是“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.

问题2    如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点,又应该如何解决?

想一想:对于问题2,如何将点B“移”到l 的另一侧B′处,满足直线l 上的任意一点C,都保持CB 与CB′的长度相等? 

利用轴对称,作出点B关于直线l 的对称点B′.

总结:求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固 定点,而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.

2、造桥选址问题

如图,A和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)?

如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?

思考

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?

什么图形变换能帮助我们呢?

解决问题

如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.

理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.

由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.

AM+MN+BN 转化为AA 1 + A1B,而A M1 + M1 N1 +BN1 转化为AA 1 +A1N1+BN1.

在△A1N1B 中,因为A1N1+BN1>A1B.

因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN.

... ... ...

最短路径问题PPT,第三部分内容:随堂训练

1、如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是(    )

2、如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若△PQR周长最小,则最小周长是(  )

A.10              B.15

C.20              D.30 

3、如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是1000米.

... ... ...

最短路径问题PPT,第四部分内容:课堂小结

最短路径问题

原理

线段公理和垂线段最短

牧马人饮马问题

解题方法

轴对称知识+线段公理

造桥选址问题

解题方法

关键是将固定线段“桥”平移

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