《函数的表示法》函数的概念与性质PPT
第一部分内容：课标阐释
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
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函数的表示法PPT，第二部分内容：自主学习
一、函数的表示法
1.(1)初中学过的3种常用的函数的表示方法是如何定义的?
提示:①解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;②图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;③列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(2)教材P60~P61问题1~问题4,分别是用什么方法表示函数的?
提示:问题1、2是用解析法,问题3是用图象法,问题4是用列表法.
(3)函数的三种表示方法各有什么优缺点?
(4)做一做
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.
①函数的定义域是什么?
提示:{1,2,3,4,5}
②y与x有何关系?
提示:y=0.5x
③试用表格表示y与x之间的关系.
提示:表格如下:
二、函数的图象
1.(1)初中我们已研究过直线、反比例函数及二次函数的图象,请作出y=2x-1,y= ,y=x2的图象.观察这些图象有什么共同特点?
提示:共同的特点是由满足一定条件的点构成的,具体地说就是将函数y=f(x)中的自变量x作为横坐标、对应因变量y作为纵坐标描成点,所有的点即构成该函数的图象.
(2)如何作出函数y=f(x)的图象?
提示:将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)),自变量取遍函数定义域A的每个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A},这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象.
(3)怎样判断一个图象所表示的是不是y关于x的某个函数?
提示:任作垂直于x轴的直线,若此直线与图象至多有一个交点,则图象即为某个函数的图象.
(4)如何由函数图象确定其定义域和值域?
提示:图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.
2.做一做
下列图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是( )
答案:D
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函数的表示法PPT，第三部分内容：探究学习
列表法表示函数
例1 (一题多空题)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
则f(g(1))=____;当g(f(x))=2时,x=____.
分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.
答案:1 1
反思感悟 列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.
延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))=________;当f(g(x))=2时,x=________.
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
答案:2 3
求函数的解析式
例2 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.
解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
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函数的表示法PPT，第四部分内容：思维辨析
因忽略变量的实际意义而致错
典例如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
错解由题意,得△CQB∽△BAP,
所以CQ/BA=CB/BP,
即y/3=4/x.
所以y=12/x.
故所求的函数表达式为y=12/x,其图象如图所示.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上解题过程中没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的取值范围而导致出错.
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函数的表示法PPT，第五部分内容：随堂演练
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1
解析:设f(x)=ax+b(a≠0),则有{■(a+b=0"," @b=1"," )┤
所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.
答案:D
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
答案:C
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