《函数的奇偶性》函数PPT
第一部分内容：课标阐释
1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.
2.能根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.
3.能利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等.
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函数的奇偶性PPT，第二部分内容：自主预习
知识点一、奇、偶函数的定义
1.思考
(1)①已知函数f(x)=1/x^2 ,试求函数的定义域,并分别对x取±1,±2,±3,±1/2,±1/3,…算出函数值f(x),你能发现什么规律?
提示:y=1/x^2 的定义域为{x|x≠0},经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对x∈{x|x≠0}总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数.
②你还能得出函数f(x)=x5在x∈R时仍有上述(1)问中的规律吗?
提示:f(x)=x5满足的规律是对x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数.
(2)一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?
提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任意一个x,都有-x∈D”这一说法.
2.填写下表:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,
3.做一做
(1)下列函数是偶函数的为( )
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为( )
A.y=x-1 B.y=3x2
C.y=1/2x D.y=-x|x|
答案:D
知识点二、奇、偶函数的图像特征
1.思考
(1)如果f(x)的图像关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?
提示:f(x)的图像关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)若f(x)为奇函数,且点(x,f(x))在其图像上,则哪一个点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?
提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x))一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x))一定在其图像上.
2.填空
(1)偶函数的图像关于y轴对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.
(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.
名师点拨 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.
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函数的奇偶性PPT，第三部分内容：探究学习
判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=√(x"-" 1)+√(1"-" x);
(2)f(x)=√(x^2 "-" 1)+√(1"-" x^2 );
(3)f(x)=x2-2|x|+1,x∈[-1,1];
(4)f(x)=(x-2)√((x+2)/(x"-" 2));
(5)f(x)=(x-2)√((2+x)/(2"-" x))(|x|<2).
分析:先求定义域,验证定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,进而做出判断.
解:(1)∵由{■(x"-" 1≥0"," @1"-" x≥0)┤知x=1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x=1},不关于原点对称,
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)∵由{■(x^2 "-" 1≥0"," @1"-" x^2≥0"," )┤得x2=1,即x=±1.
∴函数f(x)的定义域是{x|x=±1},关于原点对称.
又∵f(x)=0,∴f(x)既是奇函数也是偶函数.
(3)函数的定义域为[-1,1],关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
反思感悟如何判断函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下:
(1)求f(x)的定义域;
(2)若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.
2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性:
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
(2)奇函数的和、差仍为奇函数;
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
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函数的奇偶性PPT，第四部分内容：思维辨析
利用函数的单调性与奇偶性解不等式
典例 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
所以不等式f(1-m)<f(m)等价于{■(1"-" m>m"," @"-" 2≤m≤2"," @"-" 2≤1"-" m≤2"," )┤解得-1≤m<1/2.
方法点睛 利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.
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函数的奇偶性PPT，第五部分内容：当堂检测
1.(多选)下列函数是偶函数的为( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x
C.f(x)= D.f(x)=x2+x4
答案:AD
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.
其中不正确的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④
解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图像.故①②③④均错误.
答案:D
3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=_________.
解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,
∴25+5×23+2b=-18.
∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.
答案:-26
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