《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第4课时函数奇偶性的应用)
第一部分内容：学习目标
会利用函数的奇偶性求函数的解析式
能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题
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函数的基本性质PPT，第二部分内容：讲练互动
利用奇偶性求函数的解析式
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
【解】当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，
所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，
故f(x)＝x2－2x－1（x＞0），0（x＝0），－x2－2x＋1（x＜0）.
1．(变问法)在本例条件下，求f(－3)的值．
解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.
2．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
解：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x－1，
即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.
规律方法
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)利用已知区间的解析式代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
跟踪训练
1．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
2．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域．
函数的奇偶性与单调性的综合问题
角度一 比较大小问题
设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)
D．f(π)<f(－2)<f(－3)
角度二 解不等式
已知定义在(－1，1)上的函数f(x)＝xx2＋1.
(1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.
规律方法
奇偶性与单调性综合问题的两种类型
(1)比较大小
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(2)解不等式
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
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函数的基本性质PPT，第三部分内容：达标反馈
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－2x
解析：选B.对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；
y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－2x不是偶函数．故选B.
2．如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为3
B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3
D．减函数且最大值为－3
3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式f（x）－f（－x）x<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
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