《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的最大(小)值)
第一部分内容:学 习 目 标
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(重点)
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(重点、难点)
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(重点)
4.通过本节内容的学习,使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用,提高学生逻辑推理、数学运算的能力.(重点、难点)
核 心 素 养
1.借助函数最值的求法,培养直观想象和数学运算素养.
2.利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.
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函数的基本性质PPT,第二部分内容:自主预习探新知
新知初探
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:∀x∈I,都有
f(x) M f(x) M
∃x0∈I,使得
结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
思考:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
初试身手
1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.-1,0 B.0,2
C.-1,2 D.12,2
2.设函数f(x)=2x-1(x<0),则f(x)( )
A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
3.函数f(x)=1x,x∈[1,2],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
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函数的基本性质PPT,第三部分内容:合作探究提素养
利用函数的图象求函数的最值(值域)
【例1】已知函数f(x)=3-x2,x∈[-1,2],x-3,x∈2,5].
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域.
[解] (1)图象如图所示:
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3].
规律方法
利用图象求函数最值的方法
1画出函数y=fx的图象;
2观察图象,找出图象的最高点和最低点;
3写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
利用函数的单调性求最值(值域)
【例2】已知函数f(x)=2x+1x+1.
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
[解] (1)f(x)在(-1,+∞)上为增函数,证明如下:任取-1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2x1+1x2+1,
因为-1<x1<x2⇒x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
规律方法
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
提醒:(1)求最值勿忘求定义域.
(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意.
课堂小结
1.函数的最大(小)值,包含两层意义:一是存在,二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的,反映在函数图象上,函数的图象有最高点或最低点.
2.求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是:
(1)图象法,即画出函数的图象,根据图象的最高点或最低点写出最值;
(2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值;
(3)对于二次函数还可以用配方法研究,同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题.
3.通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识.
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函数的基本性质PPT,第四部分内容:当堂达标固双基
1.思考辨析
(1)任何函数都有最大(小)值.( )
(2)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).( )
(3)函数的最大值一定比最小值大.( )
2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
3.函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a=______.
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